1 Concept d’intérêt
Le concept d’intérêt occupe une place centrale dans les mathématiques financières ; on l’assimile au prix du temps ou encore au loyer de l’argent.
Lorsqu’une personne prête ou place un certaine somme d’argent, elle se prive pendant toute la durée du prêt ou du placement de la possibilité d’employer elle-même cet argent, et rend au contraire service à son débiteur. Puisqu’il renonce à une jouissance immédiate au profit d’une jouissance ultérieure, il est donc naturel que le créancier perçoive en échange de ce service une contrepartie appelée intérêt.
Cet intérêt est fonction du capital prêté et de la durée du prêt. Il sera d’autant plus important que le montant initialement prêté est élevé et que la durée du prêt est longue.
Le taux d’intérêt est le rapport entre l’intérêt obtenu pendant une unité de temps et le capital prêté.
Au niveau du temps, on peut choisir diverses unités. Le plus souvent, le taux d’intérêt est annuel mais il peut aussi être mensuel, trimestriel, semestriel…
Le taux d’intérêt sera généralement exprimé sous forme de pourcentage (par exemple 3 %, lorsqu’un capital de 100 rapporte 3 en une période unitaire) ou de nombre décimal (par exemple 0,03).
Il convient de distinguer l’intérêt simple de l’intérêt composé :
- les intérêts simples sont principalement utilisés pour les crédits de courte durée (généralement moins d’un an) : escompte commercial, découvert, calcul de coupon couru sur les obligations…
- les intérêts composés sont utilisés pour les prêts à plus d’un an.
2 L’intérêt simple
L’intérêt est dit simple lorsqu’il est payé en fin de période sans porter lui-même intérêt et qu’il est proportionnel au capital, à la durée du prêt ou du placement et au taux :
I = C x t x n
Avec :
I = montant de l’intérêt
C = capital prêté ou placé
t = taux d’intérêt relatif à l’unité de temps
n = durée du prêt ou du placement, mesurée avec la même unité de temps
N.B : qu’il s’agisse de l’intérêt simple ou de l’intérêt composé, t et n doivent être exprimés en unité de temps comparable. Par exemple, t annuel et n en année, ou t mensuel et n en mois.
S’agissant d’un placement, le total du capital placé et des intérêts est appelé valeur acquise (habituellement dénommée VA par convention).
VA = Capital + Intérêts = C x (1+t x n)
Exemple 1 : on dépose un montant de 10 000 € sur un compte d’épargne dont le taux d’intérêt annuel s’élève à 5 %. A combien s’élève, à intérêt simple, le compte après 2 ans ? Après 7 mois ?
a. Après 2 ans : VA = 10 000 € + 10 000 x 0,05 x 2 = 11 000 €
b. Après 7 mois : VA = 10 000 € + 10 000 x 0,05 x 7/12 = 10 291,67 €
Exemple 2 : on place 10 000 € à 0,25 % par mois pendant 6 mois. L’intérêt perçu à la fin des 6 mois s’élève à 10 000 x 0,0025 x 6 = 150 €. La valeur acquise à la fin du placement est de 10 000 + 150 = 10 150 €.
A noter que même si l’argument de proportionnalité à la durée du placement sous-jacent à l’intérêt simple peut sembler à première vue naturel, il conduit rapidement à des situations peu logiques.
Pour illustrer cela, reprenons l’exemple 1 ci-dessus. En laissant pendant 2 ans les 10 000 € placés au taux de 5 % à la banque, le capital obtenu à terme s’élève, selon la méthode de calcul retenue, à 11 000 €.
Mais on pourrait aussi décider, après 1 an, de retirer l’argent placé. On obtient après 1 an un montant de 10 500 €. Ensuite, à peine perçu, ce montant pourrait être réinvesti pour une nouvelle année supplémentaire. On obtiendrait alors au bout des 2 ans un capital de : 10 500 + 10 500 x 0,05 = 11 025 € ; soit un montant supérieur au 11 000 € obtenus par la méthode de l’intérêt simple.
Force est donc de constater que l’intérêt simple souffre d’un problème intrinsèque à sa construction et qu’illustre bien le paradoxe de l’interruption de placement : en intérêt simple, les intérêts progressivement acquis ne génèrent pas eux-mêmes d’intérêt.
Le système de l’intérêt composé corrige ce défaut.
3 L’intérêt composé
L’intérêt composé est basé sur l’idée que les intérêts progressivement gagnés doivent également être porteurs d’intérêts. Tout se passe comme si les intérêts étaient apportés au capital (capitalisés) pour produire eux-mêmes des intérêts.
N.B : La plupart des techniques financières développées en mathématiques financières se font en en recourant à l’intérêt composé et, dans un tel contexte, il est faux de dire que 3% pendant 10 ans égalent 30 % car chaque année les intérêts représentent 3% d’une somme un peu plus importante.
Considérons à cet effet un capital initial C0 placé à un taux d’intérêt périodique t.
Après une période, la valeur acquise (capital en fin de période) s’élève à C1 = C0 x (1+t)
En plaçant à nouveau C1 pour une nouvelle période, on obtient : C2 = C1 x (1+t) = C0 x (1+t)²
Soit, en généralisant la formule de capitalisation, sur un nombre n de périodes :
Cn = C0 x (1+t)n
Où :
C0 est la valeur initiale du placement
t le taux d’intérêt périodique du placement
n le nombre de périodes (en général la durée du placement en années)
Cn le capital à l’échéance ou la valeur acquise à la fin d’une période n
Et :
Total des intérêts = Cn – C0
4 Conventions de calcul des durées
Qu’il s’agisse de l’intérêt simple ou de l’intérêt composé, les calculs d’intérêts supposent préalablement de déterminer la durée du placement ou du prêt.
Cette durée se calcule généralement de 3 manières, selon que l’on se réfère à une année de 360 jours, de 365 jours ou de 366 jours s’il y a lieu :
- 360 : chaque mois comprend 30 jours
- 365 : chaque mois comprend 30 ou 31 jours selon les mois, et le mois de février comprend 28 jours
- Exact : il s’agit du nombre de jours exact du calendrier
Exemple 4 : un capital de 100 000 € est placé à intérêt simple à un taux annuel de 5 % entre le 15 février et le 31 mai 2012. Quel est le capital obtenu au 31 mai 2012 (sachant que l’année 2012 est une année bissextile) ?
- convention « exact/exact » : n = (14 + 31 + 30 + 31)/366 = 106/366 et capital obtenu = 100 000 x (1 + 0,05 x 106/366) = 101 448,09 €
- convention « exact/365 » : n = (14 + 31 + 30 + 31)/365 = 106/365 et capital obtenu = 100 000 x (1 + 0,05 x 106/365) = 101 452,05 €
- convention « 360/360 » : n = (15 + 30 + 30 + 30)/360 = 105/360 et capital obtenu = 10 000 x (1 + 0,05 x 105/360) = 101 458,33 €
N.B : lorsque l’on calcule la durée d’un placement, il convient de ne pas intégrer le 1er jour du placement dans le calcul.
L’exemple 4 nous fait remarquer que la valeur acquise est plus importante lorsque l’année est comptée pour 360 jours au lieu de 365 jours. Cela permet notamment de comprendre pourquoi les établissements préteurs opèrent le plus souvent leurs calculs d’intérêts sur une base annuelle de 360 jours.
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